LovesTheTeam.com

opetus

1

Olkoon numeerinen sekvenssi muodolta a_1,a_2, a_3, ..., a_n ja jotkut sekvenssin s_1, s_2, ..., s_k, jossa n ja k ovat yleensä ∞, ja elementit s_j sekvenssit ovat summa joidenkin jäsenten a_i sekvenssin. Sitten sekvenssi on numeerinen sarja, ja s - sekvenssi osittaisten summien: s_j = Σa_i, jossa 1 ≤ i ≤ j.

2

Numeeristen sarjojen ratkaisemisen ongelmat vähenevätsen lähentymisen määritelmää. Sanotaan, että sarja konvergoi, jos sen osittaisten summien sekvenssi konvergoituu ja ehdottomasti konvergoituu, jos sen osittaisten summien moduloiden sekvenssi konvergoituu. Vastaavasti, jos sarjan osittaisten summien sekvenssi poikkeaa, se eroaa.

3

Osittaisten summien sekvenssin konvergenssin osoittamiseksi meidän on ylitettävä sen rajan käsite, jota kutsutaan sarjan summaksi: S = lim_n → ∞ Σ_ (i = 1) ^ n a_i.

4

Jos tämä raja on olemassa ja se on äärellinen, niin sarjasuppenee. Jos sitä ei ole tai se on ääretön, sarja poikkeaa toisistaan. On toinen tarpeellinen, mutta ei riittävä merkki sarjan lähentymisestä. Tämä on sarjan a_n yleinen termi. Jos se pyrkii nollaan: lim a_i = 0 kuten I → ∞, sarja konvergoituu. Tätä ehtoa tarkastellaan yhdessä muiden ominaisuuksien analyysin kanssa, tk. Se on riittämätön, mutta jos yleisellä termillä ei ole taipumusta nollata, sarja poikkeaa erikseen.

5

Example1.Määrittää lähentyminen sarjan 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n / (2 * n + 1) + ... .Reshenie.Primenite tarpeen lähentymiskriteeri - onko yleinen termi lähestyy nollaa: lim a_i = lim n / ( 2 * n + 1) = ½. Joten, a_i ≠ 0, siksi sarja poikkeaa toisistaan.

6

Esimerkki 2.Määrittää lähentyminen sarjan 1 + ½ + 1/3 + ... + 1 / n + ... .Reshenie.Stremitsya onko yleinen termi nolla: lim 1 / n = 0. Kyllä, pyritään suorittamaan tarvittavat konvergenssitestin, mutta se ei riitä. Nyt raja määrä sekvenssit yrittää todistaa, että poikkeaa: s_n = Σ_ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1 / n. Sekvenssi määrät, vaikka hyvin hitaasti, mutta ilmeisesti taipumus ∞, joten sarja poikkeaa.

7

Merkki d'Alembertin lähentymisestä. Oletetaan, että sarjan lim (a_ (n + 1) / a_n) = D myöhempi ja edellinen suhde on äärellinen raja. Sitten: D <1 - sarja konvergoi; D> 1 - sarja poikkeaa; D = 1 - ratkaisu on epämääräinen, sinun on käytettävä lisämerkkiä.

8

Radikaali kriteeri Cauchy-konvergenssille. Olkoon olemassa äärellistä rajaa lim √ (n & a_n) = D. Sitten: D <1 - sarja konvergoituu; D> 1 - sarja poikkeaa; D = 1 - ei ole yksittäistä vastausta.

9

Näitä kahta ominaisuutta voidaan käyttääKuitenkin Cauchyn merkki on vahvempi. Lisäksi on olemassa kiinteä Cauchy-kriteeri, jonka mukaan sarjan konvergenssin määrittämiseksi on tarpeen löytää vastaava kiinteä integraali. Jos se konvergoituu, sarja konvergoituu ja päinvastoin.